கணக்குத்தேர்வையும் மகிழ்ச்சியாக எழுதலாம்

Posted on March 11, 2017

அன்புக்குழந்தைகளே தேர்வுக்கு தயாராகிக்கொண்டிருப்பீர்கள். கொஞ்சம் இதையும் படித்துவிடுங்கள். நீங்கள் எவ்வளவு நன்றாகப் படித்துள்ளீர்கள் என்பதை உங்கள் விடைத்தாள்களே எடுத்துக்காட்டிவிடும். எனவே நன்றாகப் படிப்பதைவிடவும் தேர்வில் எப்படி வெளிப்படுத்துகிறோம் என்பதே முக்கியம். அது மிகச்சிறந்த கலை. அக்கலையை ஒரு சில மாணவர்களே கற்றுவைத்துள்ளனர். நீங்களும் அக்கலையைக் கற்றுக்கொண்டால் தேர்வை சிறப்பாக எதிர்கொள்ளலாம். அதிலும் கணக்குத்தேர்வு மிக எளிதாக எழுதக்கூடியதுதான். முதலில் நன்கு தெரிந்த வினாக்களுக்கு விடைஎழுதுவதே சிறந்த முறை. கணக்குத்தேர்வில் மதிப்பெண் அடிப்படையில் வினாக்களை பகுத்துக்கொண்டு விடை எழுதினால் பதற்றத்தைக் குறைக்கலாம். பத்து மதிப்பெண் வினாக்களான வடிவியல் மற்றும் வரைபடம் ஆகிய வினாக்களை முதலில் எழுதி இருபது மதிப்பெண்களை ஈட்டி வைத்துக்கொண்டால் நம்மை அறியாமலேயே ஒரு தெம்பு வந்துவிடும். அதன் பிறகு ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள் அடுத்து இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள் கடைசியாக ஒரு மதிப்பெண் என்று மாற்றி எழுதுவதும் ஒரு யுக்திதான். சிலர் வினாத்தாளில் உள்ளபடி முதலில் ஒரு மதிப்பெண்ணிலிருந்து தொடங்குவார்கள். அது கடைசி நேர பதற்றத்திற்கு வித்திட்டுவிடும்.

திருத்துவோரின் கவனம் ஈர்க்க

நம் விடைத்தாளில் அடித்தல் இல்லாமல் நிதானமாக எழுதவேண்டும். கணித அடிப்படைச் செயல்களை விடைத்தாளில் அதற்கென ஒடுக்கப்பட்ட பகுதியில் செய்திடுங்கள். முற்றொருமைகள், கணித வாய்பாடுகள் ஆகியவற்றை கருப்பு நிற பேனாவால் எழுதி கவனம் ஈர்க்கலாம். விடையை கட்டம் போட்டு காட்டுவது திருத்துபவர்களுக்கு எளிதாக இருக்கும் அவர் மதிப்பெண்ணை முழுமையாகவும் மகிழ்ச்சியாகவும் வழங்குவதற்கான வழி இது. சில கணக்குகளில் படிகளை அதிகம் நீட்டிக்காமல் சுருங்க எழுதி தேவையான பகுதிகளை மட்டும் விடைத்தாளில் குறிப்பிடலாம். திருத்துபவர்களுக்கு அலுப்பு ஏற்படாமல் இருப்பதற்கான ரகசியம் இது.

கணக்கில் கவனிக்க வேண்டியவை

வடிவியலில் உதவிப்படம்அவசியம். உண்மைப்படத்தில் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் தவறாமல் பெயரிடுங்கள். பென்சிலை கூராக வைத்துக்கொண்டால் படங்கள் அழகாகும். நுனி மழுங்கிய அளவுகோலை தவிர்த்து புதிய அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம். இயலாதவர்கள் அளவெடுக்கும்போது பூச்சியம் இருக்கும் பகுதி மழுங்கியிருந்தால் அளவுகளை ஒன்றிலிருந்து தொடங்கலாம். அவ்வாறு தொடங்கினால் 10 செ.மீ. அளவெடுக்க 11 செ.மீ. எடுத்தால்தான் சரியாக இருக்கும் அதனை மறந்துவிட்டால் அளவு தவறாகிவிடும். வரைபட வினாவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணைக்கேற்ப அளவுத்திட்டங்களை குறிப்பிட வேண்டும். அளவுத்திட்ட்த்தை தாளின் மேற்புறம் அவசியம் எழுத வேண்டும் அதற்கும் மதிப்பெண் உண்டு. கட்டாய வினா கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் அதற்கு அவசியம் விடை எழுதுங்கள். ஒரு மதிப்பெண் வினாவில் மூன்று தகவல்களை நினைவில் கொள்ளவேண்டும். ஒன்று வினா எண், சரியான விடையைக்குறிக்கு எழுத்து, சரியான விடை இவை மூன்றையும் கட்டாயம் குறிப்பிட வேண்டும். சிலர் விடைக்குறிய எழுத்தை மட்டும் குறிப்பிடுவர். சிலர் சரியான விடையை மட்டும் குறிப்பிடுவர். அவ்வாறு இல்லாமல் மூன்றையும் குறிப்பிடுவதே சிறந்த முறையாகும்.

விடைத்தாளைக் கையாளும் முறைகள்

விடைத்தாளை அழுக்காக்காமல் பார்த்துக்கொள்ளுங்கள். கருப்பு நீலம் ஆகிய இரு வண்ன பேனாக்களை மட்டும் பயன்படுத்துங்கள். விடைகளுக்கிடையே போதிய இடைவெளி விடுங்கள். ஒரு வினாவுக்கான விடை முடியும்போது பென்சிலால் கோடிட்டு காட்டலாம். வரைபட்த்தாளை உரிய இட்த்தில் கோர்த்து கட்டுங்கள். கட்டும்போது நூலின் நுனியில் முடிச்சிடுக. அது திருத்தும்போது பக்கங்களை திருப்ப எளிதாக அமையும்.

பொதுவானவை

வடிவியல் பெட்டியும் அதனுள்ளிருக்கும் அனைத்து கருவிகளும் சரியாக உள்ளனவா என முதல்நாள் சோதித்துக்கொள்ளுங்கள். தேர்வறையில் மற்றவர்களிடம் கருவிகளைக்கடன் கேட்காதீர்கள். கவராயம் தளர்வாக இல்லாமலிருந்தால் மட்டுமே வட்டங்கள் வட்டவிற்கள் ஆகியவற்றை சரியாக வரைய முடியும். எனவே அதனை சோதித்து சரிசெய்யுங்கள். வடிவியல் வரைபடம் ஆகியவற்றை வரையும்போது அழிப்பானைப் பயன்படுத்தாமல் வரைக. அழித்து மீண்டும் வரைவது திருத்துபவர்களை எரிச்சலடையச்செய்யும். அதனால் மதிப்பெண் குறைய வாய்ப்பு உள்ளது.

மேலே சொன்ன அனைத்தையும் கவனத்தில் கொண்டு தேர்வை மகிழ்வோடு எதிர்கொண்டு எழுதிட வாழ்த்துகள்.

புதிர்கள்

1.ஒரு புதிர் கணக்கு

1 ரூபாய்க்கு 20 மிட்டாய்
1 ரூபாய்க்கு 1 கடலை மிட்டாய்
5 ரூபாய்க்கு 1 சாக்லேட்

மேலே உள்ளது விலைப்பட்டியல் ஒரு மாணவரிடம் 100 ரூபாய் உள்ளது மேற்கண்ட விலைப்படி 100 ரூபாய்க்கு 100 பொருள்கள் வாங்க வேண்டுமென்றால் ஒவ்வொரு இனிப்பிலும் எத்தனை வாங்க வேண்டும்.
கண்டு பிடிக்க உதவ வேண்டுமெனில் கடலை மிட்டாய் ஒன்று போதும் என்று ஒரு க்ளு கொடுக்கலாம்.
மேலும் உதவ வேண்டுமெனில் மிட்டாய் 5 ரூபாய்க்குள் வாங்க வேண்டும். கண்டு பிடித்து விடுவார்கள்.
கண்டுபிடிக்க இயலவில்லையெனில் வேறு ஒரு பக்கத்தில் விடை கொடுக்கலாம்.

விடை:
இனிப்பு எண்ணிக்கை தொகை

மிட்டாய் 80 ரூ. 4 ( 4 X 20 = 80 )
கடலைமிட்டாய் 1 ரூ.1 ( 1 X 1 = 1 )
சாக்லேட் 19 ரூ.95 ( 5 X19 = 95 )

————————————————

கூடுதல் 100 100

————————————————–

2. கூட்டலாம் பெருக்கலாம்

2 லிருந்து 9 க்குள் ஒரு எண்ணை நினைத்துக்கொள்ளுங்கள் நினைத்த எண்ணை 9 ஆல் பெருக்குங்கள் பெருக்கி வரும் விடியிலுள்ள இரு இலக்கங்களையும் கூட்டுக அதனுடன் 120 ஐ கூட்டுக. இப்போது வரும் விடை 129. இதனைக்கொண்டு உங்கள் நண்பர்களை இன்னும் வியப்படையச்செய்ய வேண்டுமெனில் உங்கள் புத்தகத்தில் 129 ஆம் பக்கத்தில் என்ன பாடம் உள்ளது என்று முன்பே பார்த்து வைத்துக்கொண்டு விடையைக்கூறாமல் என்ன எண் விடையாக வருகிறதோ அந்த பக்கத்தைப் பார் குறிப்பிட்ட பாடம் இருக்கும் எனக்கூறி வியப்பிலாழ்த்தலாம்.
(கருத்து : 2 லிருந்து 9க்குள் எந்த எண்ணை 9 ஆல் பெருக்கினாலும் வருகின்ற விடையிலுள்ள எண்களைக்கூட்டினால் 9 தான் விடையாக வரும் அதனுடன் 120 ஐக்கூட்ட விடை 129 என்றே கிடைக்கும். எ.கா.{ ( 2 X 9 = 18. 1+8 = 9 , 9 + 120 = 129), ( 3 X 9 = 27, 2+7=9, 9+120=129) } இதுபோல மற்ற எண்களையும் செய்து பாருங்கள்.
( நான்கு முதல் எட்டு வகுப்பு வரையுள்ள மாணவர்களுக்கான பொதுச்செயல்பாடு )

3. பதினொன்றோடு இரண்டைச் சேர்ந்தால் ஒன்றாகும். எப்படி?

விடை:
11 மணி நேரம் + 2 மணி நேரம் = 1 மணி

4.ஆளுக்கு பாதி

குமாரும் மணியும் பள்ளிக்கு போகிற வழியில ஒரு ரூபாய் கீழே கிடந்தது. குமார்தான் முதல்ல பார்த்து மணிகிட்ட சொன்னான் உடனே மணி அதை எடுத்தான்.ஆளுக்கு 50 காசு எடுத்துப்போம் என்று குமார் சொன்னான். நான்தானே எடுத்தேன் அதனால எனக்கு 10 காசு அதிகமா வேணும் என்றான் மணி. சற்று யோசித்த குமார் சரி என்றான். அவர்கள் அவ்வாறே பிரித்துக்கொண்டனர். இப்போது குமாரிடம் எத்தனை பைசா மணியிடம் எத்தனை பைசா இருக்கும் சொல்லுங்கள்.

விடை: 50+ 50 = 100 , இப்போது மணிக்கு 10 பைசா அதிகம் கொடுக்கவேண்டும் என்றதும் குமாரிடமிருந்து மணிக்கு 10 பைசா கொடுத்துவிடலாம் என்றுதான் அனைவரும் கூறுவார்கள். அப்படிக்கொடுத்தால் குமாரிடம் 40 பைசாவும் மணியிடம் 60 பைசாவும் இருக்கும். இது சரியா அவன் 10 பைசாதான் அதிகமாகக்கேட்டான் ஆனால் இப்போது அவனிடம் 20 பைசா அதிகமாக உள்ளது. 10 பைசாதான் அதிகமாக இருக்கவேண்டும் என்று கூறி சரியான விடையைக் கணுபிடிக்கத் தூண்ட வேண்டும்.

ஒரு 5 லிட்டர் கேனும், ஒரு 8 லி கேனும் மட்டும்தான் உங்களிடம் உள்ளது ஒருவருக்கு 2லிட்டர் எண்ணெய் கொடுக்க வேண்டும் இருக்கின்ற கேன்களை வைத்துக்கொண்டு எவ்வாறு கொடுக்கலாம்?

விடை: 5 லிட்டர் கேனில் எண்ணெயை ஊற்றி அதை 8 லிட்டர் கேனில் ஊற்றவேண்டு.மீண்டும் அதேபோல் செய்தால் 8 லிட்டர் கேனில் இன்னும் 3 லிட்டர் மட்டுமே  கொள்ளும்.இப்போது 5 லிட்டர் கேனில் மீதம் 2 லிட்டர் இருக்கும்.

5.ஒரு கம்பம் ,உயரம் 13 அடி ,குட்டிப் பல்லி அதன் மீது ஏறி விளையாடுகிறது.நிமிடத்திற்கு 3 அடி ஏறும்,2 அடி சறுக்கும் ,அப்படியானால் அது உச்சிக்குப் போக எத்தனை நிமிடங்கள் ஆகும் .

விடை:11 நிமிடம்

6.நான் ஒரு பாட்டுக்கச்சேரியில் மூன்று பாட்டு கேட்டேன்.2 பாடலை வேல்முருகன் பாடினாரு,2 பாடலை குப்புசாமி பாடினாரு,எப்படி

விடை: வேல்முருகன் 1 பாட்டு, குப்புசாமி 1 பாட்டு, இருவரும் சேர்ந்து பாடியது 1

7.மூன்று எண்கள் அவற்றை ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாய் எழுதி கூட்டினாலும் , பெருக்கினாலும் ஒரே விடை வரும் ,அந்த எண்கள் எவை?

விடை: 1,2,3

கணச் செயல்பாடு

கணக்கில் 8ஆம் வகுப்பு வரை அறிமுகமில்லாத இயல் கணவியலாகும். எனவே  9ஆம் வகுப்பில் நுழையும் மாணவர்களுக்கு. கணம் என்ற கருத்து முற்றிலும் புதியதாகும். நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பு கணம் என்பதை உணர்த்தி, கணச் செயல்பாடுகளை விளையாட்டு முறையில் செய்து பார்ப்பதன் மூலம் எளிதாக்கலாம்.

A ={a,b,c,d,e} , B = {a,c,e,i,o} எனில் A U B = {a,b,c,d,e,i,o} இந்த கணச் செயலை விளையாட்டு முறையில் படத்தில் காட்டியுள்ளபடி செய்து பார்ப்பதன் மூலம் கணங்களின் சேர்ப்புப் பண்பை மாணவர்கள் எளிதாக புரிந்துகொள்வார்கள்.

மேலும் சில செய்முறைகளை வழங்கி மதிப்பிடலாம். மாணவர்களை எண்ணிக்கைக்கேற்ப சில குழுக்களாகப் பிரித்து கீழ்க்கண்ட செயல்பாட்டினை செய்திடக்கூறலாம். பாடநூலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சொல் விளையாட்டு கட்டங்களை கணச்செயல்பாடுகள் மூலம் நிரப்பசெய்து ஒவ்வொரு செயலிலும் கிடைக்கும் எழுத்துகளைக்கொண்டு அர்த்தமுள்ள சொற்களை உருவாக்கி படிக்கச் செய்து மதிப்பிடலாம்.அவ்வாறு உருவாக்கப்பட்ட சொற்றொடர் இது.YOUR WORK WITH SETS IS VERY SOUND AND YOU ARE NOW AN EXPERT. இது போல் ஆசிரியரின் கற்பனைக்கேற்ப செயல் திட்டங்களை வழங்கி மாணவர்களை மதிப்பிடலாம்.

9 ஆம் வகுப்பு, கணக்கு, கணவியல் பாடத்திற்கானசெயல்திட்டம்

.

2) மன்னம்ப்பாடி அரசு உயர் நிலைப்பள்ளி மாணவ மாணவிகளின் எண்ணிக்கை

வகுப்பு மாணவர் மாணவி
6 10 17
7 12 18
8 14 18
9 20 27
10 16 16
——————————————————————————–
மொத்தம் 72 96
——————————————————————————–

7ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கும் மாணவிகளுக்கும் உள்ளவிகிதம் 12:18 ஆகும் இதனை எளிய வடிவில் மாற்றினால் 2:3 என்ற விகிதம் கிடைக்கும் எனவே 7ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கும் மாணவிகளுக்கும் உள்ள விகிதம் 2:3 ஆகும்.(2 x 6 = 12, 3 x 6 = 18 )

பள்ளியிலுள்ள மொத்த மாணவர்களுக்கும் மாணவிகளுக்கும் உள்ள விகிதம் 72:96இதன் எளிய வடிவம் 3:4
(3 x 24 = 72, 4 x 24 = 96)

இது போல் உங்கள் பள்ளி மாணவ மாணவிகளின் எண்ணிக்கையை எழுதி செய்துபாருங்கள்.

கால அளவைகள்

ஆறாம் வகுப்பு கணக்கு – அளவைகள் (கால அளவைகள் ) பாடத்திற்கான மாதிரி செயல் திட்டம்

1980 வரை 2012 வரை உள்ள ஆண்டுகளில் எவை லீப் ஆண்டுகள் என்க் கண்டரறியவும்.
லீப் ஆண்டுகளைக்கண்டறிய குறிப்பிட்ட ஆண்டை 4 ஆல் வகுத்தால் மீதியின்றி வகுபட்டால் அது லீப் ஆண்டு ஆகும்.
எ.டு.
1980/4 = ஈவு – 495 , மீதி – 0 – 1980 – லீப் ஆண்டு
1981/4 = ஈவு – 495 , மீதி – 1 – 1981 – லீப் ஆண்டு அல்ல
1982/4 = ஈவு – 495 , மீதி – 2 – 1982 – அல்ல
1983/4 = ஈவு – 495 , மீதி – 3 – 1983 – அல்ல
1984/4 = ஈவு – 496 , மீதி – 0 – 1984 – லீப் ஆண்டு
இது போல் 2012 வரை வுகுத்து ஈவு மீதியைக்கொண்டு கண்டறிக.

3)விருத்தாசலம் தொடர்வண்டி நிலையத்திலிருந்து பல்வேறு இடங்களுக்குச்செல்லும் தொடர்வண்டிகள் பற்றிய விவரங்கள்

வண்டிஎண் வண்டியின் பெயர் செல்லுமிடம் புறப்படும் நேரம் சேரும்நேரம் தூரம்

2634 கன்னியகுமரிவிரைவுவண்டி கன்னியாகுமரி 20.47 06.50 530 கி.மீ
1043 மதுரைவிரைவுவண்டி மதுரை 05.52 11.50 284 கி.மீ.
6351 நாகர்கோயில்விரைவுவண்டி நாகர்கோயில் 19.07 05.30 514 கி.மீ.
6713 ராமேஸ்வரம்விரைவுவண்டி ராமேஸ்வரம் 20.22 05.15 436 கி.மீ.
2693 முத்துநகர்விரைவுவண்டி தூத்துக்குடி 22.52 07.25 444 கி.மீ.
834 கடலூர்பயணிகள்வண்டி கடலூர் 04.30 05.40 58 கி.மீ.
837 சேலம்பயணிகள்வண்டி சேலம் 13.15 17.00 139 கி.மீ.
2662 பொதிகைவிரைவுவண்டி சென்னை 02.36 07.05 213 கி.மீ.ம்

கன்னியாகுமரி விரைவு வண்டி விருத்தாசலத்திலிருந்து கன்னியாகுமரி செல்வதற்கு எவ்வளவு நேரமாகிறதுஎன்பதை { (24.00-20.47)+06.50 = 03.13 + 06.50 = 10.03 } இவ்வாறு கணக்கிட வேண்டும்.
இதேப்போல் பயணிகள் வண்டியில் பயணம் செய்ய ஆகும் நேரத்தைக் கணக்கிட்டு இரண்டையும் ஒப்பிடுக

வர்க்கமூலச் சுருள்

வர்க்கமூலச் சுருள் வரைவோம்

ஆம் வகுப்பு கணக்குப் பாடத்திற்கு ஆய்வகச்செயல்பாடுகள் இந்த ஆண்டிலிருந்து அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. அதில் மேய்யெண் தொகுப்பு என்னும் 2 ஆவது இயலுக்கான ஆய்வகச்செயல்பாடாக வர்க்கமூலச் சுருள் வரைதல் என்னும் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதனை எவ்வாறு செய்யலாம் என்பதைப் படத்தில் காணலாம்.

வர்க்கமூலச் சுருளை முதன்முதலாக கிரேக்க நாட்டுக் கணித அறிஞர் தியோடரஸ் என்பவர் அமைத்துக் காட்டினார். அதனால் இது தியோடரஸ் சுருள் என்றும், பித்தகார்ஸ் தேற்றத்தைப்பயன்படுத்தி அமைப்பதால் பித்தகாரஸ் சுருள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

முதலில் A 4 அளவுள்ள தாளை நீள வாக்கில் இரண்டாக மடிக்க வேண்டும் அந்த மடிப்பின்மீது தாளின் வலப்புறத்தில் வலமிருந்து சுமார் 4 செ.மீ. இடைவெளி விட்டு குறிப்பிட்ட அளவில் ( 4 செ.மீ நல்லது ) இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் அமைக்கவும் செங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய இரண்டு பக்கங்களை ஒவ்வொரு அலகாகக் கொள்ளவேண்டும். பித்தகாரஸ் தேற்றத்தின் படி செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம் என்பதால் இந்த முக்கோணத்தின் கர்ணம் ரூட் 2 எனக்கொள்க. இப்போது முதல் முக்கோணத்தின் கர்ணத்தை அடிப்பக்கமாகக் கொண்டு மற்றொரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைத்தால் அந்த முக்கோணத்தின் கர்ணம் ரூட் 3 கிடைக்கும் இதேப்போல் தொடர்ந்து ரூட் 10 வரும் வரை முக்கோணங்களை அமைத்தால் வர்க்கமூலச்சுருள் கிடைக்கும்.

மாணவர்களுக்கு இதனைக் கற்றுக்கொடுத்து வரையச் செய்து வண்ணம் தீட்டி அழகுபடுத்தலாம். இதன் மூலம் மாணவர்களுக்கு பல்வகை கணிதச்செயல்பாடுகள் எளிதாகும்.செங்கோணத்தை காகித மடிப்பு முறையிலும் அமைக்கலாம்.

கணிதவியலாளர்கள்

1.ஜார்ஜ் பூல்:

ஜார்ஜ் பூல் இங்கிலாந்தில் பிறந்த ஒரு கணிதவியலாளர் மற்றும் தத்துவவியலாளர் ஆவார். இவர் 1815 நவம்பர் 2 ஆம் தேதி பிறந்தார்.
இவரே இன்றைய கணினி அறிவியலில் பயன்படுத்தப் படுத்தப்பட்டு வரும் பூலியன் கணிதத்தைக் கண்டுபிடித்தவர் ஆவார். . பூலியன் தர்க்கம் தான் இன்று கணினிகள் , தேடு பொறிகள் இயங்குவதற்கு முக்கியக் காரணியாக இருக்கிறது. இந்த சிந்தனையின் சொந்தக்காரர் ஜார்ஜ் பூல். இவர் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த மிக முக்கியமான கணித மேதை.  இவர் கணினி அறிவியல் துறையைத் தோன்றக் காரணமானவர்களில் ஒருவராகக் கருதப்படுகிறார்.

தருக்க ரீதியான விவாதங்களைக்குறிக்கும் குறியீடுகள் மற்றும் இயற்கணிதக்குறியீடுகளுக்கிடையே நெருங்கிய ஒற்றுமை உண்டு என்று நம்பியவர்.

2.ஜார்ஜ் கேண்டர்

ஜ்

ஜார்ஜ் கேண்டர் ஜெர்மன் நாட்டு கணித அறிஞர்.கணவியலின் அடிப்படைக்கருத்துக்களை இவர் உருவாக்கினார்.பிற்கால கணவியல் வளர்ச்சிக்கு இவரின் ஆய்வு அடிப்படையாக அமைந்தது.

3.ராமானுஜம்

ராமானுஜன் தமிழ் நாட்டில் 1887 டிசம்பர் 22 நாள் ஒர் ஏழை அந்தணர் வகுப்பில் பிறந்தார். பிறந்த ஊர் ஈரோடு. படித்ததும், வளர்ந்ததும் கும்பகோணத்திலே. தந்தையார் ஒரு துணிக்கடையில் கணக்கு எழுதுபவர். கலைமகள் கணித ஞானத்தை அருளியது, ராமானுஜன் சிறுவனாக இருந்த போதே தென்பட்டது. அபூர்வமான தெய்வீக அருள் பெற்ற “ஞானச் சிறுவன்” [Child Prodigy] ராமானுஜன். அவரது அபாரக் கணிதத் திறனைச் சிறு வயதிலேயே பலர் கண்டு வியப்படைந்தார்கள். ஏழு வயதிலே உதவிநிதி பெற்று, ராமானுஜன் கும்பகோணம் உயர்நிலைப் பள்ளிக்குச் சென்றார்! அப்போதே பள்ளித் தோழரிடம் கணித இணைப்பாடு [Formulae] பலவற்றை, மனப்பாடம் செய்து ஒப்பிவித்து அவரை வியக்க வைத்தாராம்! “பை” இன் மதிப்பை [3.14] பல தசமத்தில் மாணவர்களிடம் பள்ளியில் தெளிவாகச் சொல்லி யிருக்கிறார் அந்த இளமை வயதிலே, ராமானுஜன்.
பன்னிரண்டாம் வயதில் “லோனியின் மட்டத் திரிகோணவியல்” கணித நூலில் [Loney’s Plane Trigonometry] கணிதக் கோட்பாடுகளைத் தானே கற்று ராமானுஜன் தேர்ச்சி அடைந்தார். முடிவில்லாச் சீரணியின் தொகுப்பு, அதன் பெருக்கம் [Sum & Products of Infinite Sequences] பற்றிய விளக்கத்தை அறிந்தார். அவரது பிற்காலக் கணிதப் படைப்புகளுக்கு அவை பெரிதும் பயன்பட்டன. முடிவில்லாச் சீரணி என்பது எளிய இணைப்பாடு ஒன்று [Formula], உருவாக்கும் முடிவற்ற தொடர் இலக்கம். அத்தொடரோடு வேறோர் எண்ணைக் கூட்டியோ, பெருக்கியோ, முடிவற்ற சீரணியை முடிவுள்ள சீரணியாக மாற்றி விடலாம்.
பதினைந்தாம் வயதில், கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக் கழக கணித வல்லுநர், கார் [G.S.Carr] தொகுத்த “தூய கணித அடிப்படை விளைவுகளின் சுருக்கம்” [Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics] என்னும் நூலைக் கடன் வாங்கி, சுமார் 6000 கணித மெய்ப்பாடுகளை [Theorems] ஆழ்ந்து கற்றுக் கொண்டார். இந்த இரண்டு கணித நூல்களின் பயிற்சிதான் ராமானுஜன் முழுமையாகக் கற்றுக் கொண்டது. அவைகளே அவரது பிற்கால அபாரக் கணிதப் படைப்புகளுக்கு அடிப்படையாய் அமைந்தன.
1903 ஆம் ஆண்டில் பதினாறு வயதில் கும்பகோணம் அரசினர் கல்லூரியில் ராமானுஜன் சேர்க்கப்பட்டார். ஆனால் அவரது முழு மனதும் கணிதம் ஒன்றிலே ஆழ்ந்து விட்டதால், மற்ற பாடங்களில் கவனம் செல்லாது, அவர் கல்லூரித் தேர்வில் தோல்வியுற்றார். இதே ஒழுங்கில் படித்து, நான்கு வருடங்கள் கழித்துச் சேர்ந்த சென்னைக் கல்லூரியிலும் முடிவில் தோல்வியடைந்தார். 1909 இல் ராமானுஜன் திருமணம் செய்த கொண்டபின், தற்காலியமாய்த் தன் கணிதப் பித்தை ஒதுக்கி வைத்தி விட்டு, வயிற்றுப் பிழைப்புக்காகச் சென்னையில் ஒரு வேலையைத் தேடினார்.
கணிதத்தை ஆதரிக்கும் செல்வந்தர் ஆர்.. ராமச்சந்திர ராவ், அனுதாப முடைய கணித வல்லுநர் பலரது உறுதியான சிபாரிசின் பேரில், 1910 இல் ராமானுஜத்துக்கு கணிதத் துறையில் பணிபுரிய, ஓரளவுத் தொகையை உபகாரச் சம்பளமாக மாதா மாதம் அளிக்க முன்வந்தார். 1911 இல் ராமானுஜத்தின் முதல் பதிவு கணிதப் படைப்புகள், இந்திய கணிதக் குழுவின் வெளியீட்டில் [Journal of the Indian Mathematical Society] வெளிவந்தன.

 4.அல் கரிஷ்மி 

சைபரை ஒரு எண்ணாக கணக்கிட்டு கணித துறையில் மாபெரும் புரட்சி ஏற்படுத்தியவர், உலகின் மிகச்சிறந்த கணிதமேதைகளில் ஒருவர் என்று புகழப்படும் அபு அப்துல்லாஹ் முஹம்மது இப்ன் மூஸா அல் கரிஷ்மி (Abu Abdullah Muhammed ibn Musa al Khwarizmi, 780-850) அவர்கள். அல்ஜீப்ராவை (Algebra) கண்டுபிடித்ததும் இவரே.
இவர் படம் பொறித்த தபால் தலையை சோவியத் ரஷ்யா 1983 ஆம் ஆண்டு வெளியிட்டு இவருக்கு பெருமை சேர்த்தது.

இவர் அறிவியலின் பல்வேறு துறைகளில் சிறந்து விளங்கியிருக்கிறார். இங்கு நாம் கணித துறையை மட்டும் பார்ப்போம். இவர் ஹிந்துக்களின் எண்களை எடுத்து அதில் சிபரை சேர்த்து கணிதத்துறையை மற்றுமொரு பரிமாணத்திற்கு எடுத்துச்சென்றார். இவருடைய நூல்களில் இந்த எண்களை பயன்படுத்தி கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் போன்றவற்றை மிக எளிதாக, நேர்த்தியாக விளக்கி காட்டினார். இவருடைய இந்த பங்களிப்பே இன்றைய எண்கணித முறைக்கு முன்னோடி.

தசம கணித (Decimal Fractions) முறையை கண்டுபிடித்தது அல்-கசி (Al-Kashi) அவர்கள், பதினைந்தாம் நூற்ற்றாண்டின் முற்பகுதியில் கண்டுபிடித்தார். கணிதத்தில் இவருடைய பணி மிகச்சிறந்தது.

5.லியொனார்டோ பிசானோ( ஃபிபொனாச்சி)

லியொனார்டோ இத்தாலியில் உள்ள பீசா நகரில் 1170 ஆம் ஆண்டில் பிறந்தார். இவரது தந்தை குக்லியெல்மோ, எளிமையான அல்லது நல்லியல்புள்ள என்னும் பொருள்கொண்ட “பொனாச்சியோ” என்னும் பட்டப்பெயரால் அழைக்கப்படுவந்தார். லியொனார்டோவுக்கு ஒன்பது வயதாக இருக்கும்போதே இவரது தாய் அலெசாந்திரா இறந்துவிட்டார். லியொனார்டோ இறந்த பின்பே இவரை ஃபிபிபொனாச்சி என அழைத்தனர். இது, பொனாச்சியோவின் மகன் எனப் பொருள் தரும் ஃபிலியஸ் பொனாச்சி என்பதன் சுருக்கம் ஆகும்.

பிபொனாச்சி (Fibonacci – கிபி 1170 – 1250) ஒரு இத்தாலியக் கணிதவியலாளர். இக் கணிதவியலர் பல பெயர்களாலும் அறியப்படுகின்றார். பீசாவின் லியொனார்டோ, லியொனார்டோ பிசானோ, லியொனார்டோ பொனாச்சி, லியொனார்டோ ஃபிபொனாச்சி போன்ற பல பெயர்களாலும் அறியப்பட்டார். இடைக் காலத்தின் மிகத் திறமை வாய்ந்த கணிதவியலாளர் என இவர் கருதப்படுவதும் உண்டு.

பின்வருவனவற்றுக்காக இவர் தற்கால உலகில் அறியப்படுகிறார்:

இந்து-அரபிக் எண்முறையை ஐரோப்பாவில் அறிமுகப் படுத்தினார். 13 ஆவது நூற்றாண்டில் இவரெழுதி வெளியிட்ட கணிப்பு நூல் என்னும் பொருள் கொண்ட லிபெர் அபாச்சி (Liber Abaci) என்னும் நூலில் இக்கருத்துகள் பதிவாயின.
ஃபிபோனாச்சி எண்கள் எனப்படும் எண் வரிசையை இவர் கண்டு பிடிக்கவில்லை. எனினும் தனது நூலில் எடுத்துக்காட்டாகப் பயன்படுத்தியுள்ளார். இதனால் இவ்வெண்ணுக்கு இவரது பெயரைத்தழுவிப் பெயரிடப்பட்டது.

கணக்கு ஆய்வு

1.கணக்கு ஆய்வு

அறிவியல் ஆய்வகத்தில் செயல்முறைப் பயிற்சி செய்வதைப் போல் கணக்கிலும் செயல்முறைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம் மாணவர்கள் கணக்குகளை எளிதில் புரிந்து கொள்வர். அதற்கான வாய்ப்புகளை ஆசிரியர்கள் ஏற்படுத்தவேண்டும். அதற்கு வாய்ப்பளிக்க இதோ ஒரு செயல்முறைப் பயிற்சி.

1 X 9 + 2 = 11
12 X 9 + 3 = 111
123 X 9 + 4 = 1111
1234 X 9 + 5 = 11111
12345 X 9 + 6 = 111111
123456 X 9 + 7 = 1111111
1234567 X 9 + 8 = 11111111
12345678 X 9 + 9 = 111111111

இந்த கணக்கில் உள்ள் செயல் பாடுகளை சோதனை செய்து மாணவர்கள் நிரூபித்துக்காண்பிக்கவேண்டும். இதுபோல் வேறு செயல்பாடுகளை உருவாக்கச் செய்யலாம்.

நிகழ்தகவு

நிகழ்தகவு மாணவர் செயல்பாடு

சராசரி

விளையாட்டாக அறிவோம் சராசரி

விளையாட்டாக சராசரி அறிவது எப்படி என்பதை சுட்டிவிகடனில் வெளியான இந்த செயல்பாடு விளக்குகிறது.

காப்ரேகர் எண்கள்

▶'காப்ரேகர்' (Kaprekar) என்னும் பெயரைக் கேள்விப்பட்டிருக்கிறீர்களா?

இவர் ஐரோப்பிய நாடுகளைச் சேர்ந்தவரோ, வேறு தேசத்தைச் சேர்ந்தவரோ கிடையாது.

இவர் ஒரு இந்தியர். மும்பாயின் ஒரு கிராமத்தில் பிறந்தவர். 'ராமச்சந்திர காப்ரேகர்' என்பது இவரின் முழுமையான பெயர். இவர் ஒரு கணித மேதை.

மேற்குலகம் வியப்புடன் பார்க்கும் ஒரு ஆச்சரியமான கணிதவியலாளர்.

டிஜிட்டல் இந்தியா என்றதும் பரவசப்படும் இளைஞர்களில் பலருக்கு, மேற்குலகமே வியந்து பாராட்டிக்கொண்டிருக்கும் இந்திய அறிவியலாளர்கள்பற்றி அதிகம் தெரிந்திருப்பதில்லையென்பதே மறுக்க முடியாத உண்மை. அந்த அறிவியலாளர்களுக்கு அரசியலில் எந்தவொரு ஆளுமையும் இல்லாமல், அறிவியலில் மட்டும் ஆளுமை இருந்ததால், தன் சொந்த நாட்டில், சொந்த இடத்தில் மறக்கப்பட்டவர்களாகிவிடுகின்றனர்.

காப்ரேகர் கண்டுபிடித்த ‘காப்ரேகர் எண்கள்’ (Kaprekar Numbers) என்பது கணிதத்தில் பிரபலமானது.

உதாரணமாக, 703 என்பது

ஒரு காப்ரேகர் எண்ணாகும். இதன் விசேசத்தன்மை என்னவென்றால், இந்த எண்ணின் வர்க்கம், அதாவது இந்த எண்ணை இதே எண்ணால் பெருக்கிவரும் பெரிய எண்ணை, இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்து, அவற்றை ஒன்றுடன் ஒன்று கூட்டினால், ஆரம்ப எண் வரும். 

சரி இதைப் பாருங்கள்.

703X703=494209 அல்லவா? இதில் வரும் 494209 என்பதை எடுத்து, அதை 494 மற்றும் 209 ஆகப் பிரியுங்கள். 

இப்போது, இவையிரண்டையும் கூட்டுங்கள்.

494+209=703. மீண்டும் ஆரம்ப எண்ணான 703 மீண்டும் வருகிறதல்லவா? எனவே 703 ஒரு காப்ரேகர் எண்ணாகும்.

இப்படி 9, 45, 55, 99, 297….. என்பவை வரிசையாக காப்ரேகர் எண்களாகும். 

நீங்களே இவற்றின் வர்க்கத்தை எடுத்துச் செய்துபாருங்கள்.

ஆனால், நான் இங்கு சொல்ல வந்தது காப்ரேகர் எண்களைப்பற்றியல்ல. காப்ரேகரின் புகழைச் சொல்வது, ‘காப்ரேகர் எண்கள்’ மட்டுமல்ல, ‘காப்ரேகர் மாறிலி’ (Kaprekar’s Constant) என்பதும்தான். 

'காப்ரேகர் மாறிலி' என்பது மிகவும் ஆச்சரியமான ஒரு எண். இந்த எண்ணை அடிப்படையாக வைத்து, எழுத்தாளர் ‘சுதாகர் கஸ்தூரி’ (Sudhakar Kasturi), '6174' என்று ஒரு அருமையான நாவலையும் எழுதியிருக்கிறார்.

அந்த எண் 6174.

'6174' ஒரு அதிசய எண். இந்த அதிசய எண்ணைக் கண்டுபிடித்தவர் காப்ரேகர். 

'சரி இந்த எண்ணில் அப்படி என்ன அதிசயம் இருக்கிறது?' என்றறிய ஆவலாக இருக்கிறதா?

அதைப் பார்க்கலாம் வாருங்கள்……..

காப்ரேகர் சொன்னது இதுதான், "6174 என்னும் எண்ணில் உள்ள இலக்கங்களை முதலில் இறங்குவரிசையாகவும், ஏறுவரிசையாகவும் வரும் எண்களாக மாற்றி எழுதிக்கொள்ளுங்கள். 

பின்னர் இறங்குவரிசை எண்ணிலிருந்து ஏறுவரிசை எண்ணைக் கழியுங்கள். அப்போது மீண்டும் அதே 6174 என்னும் எண் வரும்".

அது என்ன இறங்குவரிசை எண், ஏறுவரிசை எண்? பெரிய இலக்கத்திலிருந்து சின்ன இலக்கம்வரை வரிசையாக எழுதுவது இறங்குவரிசை எண். சின்ன இலக்கத்திலிருந்து பெரிய இலக்கம்வரை வரிசையாக எழுதுவது ஏறுவரிசை எண். அவ்வளவுதான். இதன்படி, 6174 இன் இறங்குவரிசை எண் 7641, அதன் ஏறுவரிசை எண் 1467.

காப்ரேகர் சொன்னதுபோல, இறங்குவரிசை எண்ணிலிருந்து, ஏறுவரிசை எண்ணைக் கழிப்போம்.

7641-1467=6174.

அதாவது 6174 என்னும் எண்ணின் இ.வ. எண்ணிலிருந்து, ஏ.வ.எண்ணைக் கழித்தால் அதே 6174 மீண்டும் வரும்.

இத்துடன் முடிந்துவிடவில்லை '6174' தரும் ஆச்சரியங்கள்.

நான்கு இலக்கங்களைக்கொண்ட எந்த இலக்கத்தையும் நீங்கள் எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். சரி, உதாரணமாக 8539 என்னும் எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். அதை இ.வ.எ, ஏ.வ.எ என மாற்றிக் கழித்துக்கொள்வோம்.

9853-3589=6264

இப்போது 6264 என்பதை மீண்டும் இ.வ.எ, ஏ.வ.எ ஆக மாற்றிக் கழித்துக்கொள்வோம்.

6642-2466=4176

இந்த எண்ணுக்கும் அதேபோலச் செய்தால்,

7641-1467=6174

இறுதியாக நாம் பெறுவது 6174 என்னும் எண்ணாகவே இருக்கும். 

இப்போது 6174 ஐ நாம் வரிசைப்படுத்தினால், அது 6174 ஆகவே இருக்கும். இந்த எண் மீண்டும் மீண்டும் நம்மை அதன் சுழலில் இழுத்துக்கொண்டிருப்பதால், இதைக் 'கருந்துளை எண்' (Blackhole) என்றும் சொல்வார்கள்.

நீங்கள் 9999 க்குக் கீழே உள்ள நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்ட எந்த எண்ணை எடுத்தும் (1111, 2222, 3333.......9999 எண்களும், சில விதிவிலக்கு எண்களும் இவற்றில் அடங்காது) அதனை இ.வ.எண், ஏ.வ.எண் ஆகப் படிப்படியாக மாற்றினால் உங்களுக்கு இறுதியில் கிடைப்பது 6174 என்னும் எண்ணாகவே இருக்கும். அதிகப்படியாக ஏழாவது படியில் 6174 எண் உங்களுக்கு விடையாகக் கிடைக்கும். முடிந்தவரை பல எண்களை இப்படி முயற்சிசெய்து பாருங்கள். எப்போதும் 6174 என்னும் எண் வந்து உங்களை அணைத்துக் கொள்ளும்.

அதனால்தான் '6174' என்பதை 'காப்ரேகரின் மாறிலி' என்பார்கள்.

மூன்று இலக்க எண்களுக்கான காப்ரேகரின் மாறிலி எண் 495 ஆகும்.

என்ன புரிகிறதா?

சீனிவாச இராமானுஜன்

கணித மேதை ராமானுஜம்

“ராமானுஜத்தின் கணித மேன்மையை இலக்க ரீதியில் நான் ஒப்பிட்டுச் சொன்னால் ராமானுஜத்தின் திறனுக்கு மதிப்பெண் 100 அளிப்பேன், ஜெர்மன் மகா கணித மேதை, டேவிட் ஹில்பெர்ட்டுக்கு [David Hilbert] மதிப்பெண் 80 !  பிரிட்டீஷ் கணித நிபுணர் லிட்டில்வுட்டுக்கு மதிப்பெண் 30 தருவேன், எனக்கு நான் கொடுப்பது 25 மட்டுமே.”

பிரிட்டீஷ் கணித மேதை ஜி. ஹெச். ஹார்டி

சுமார் 85 ஆண்டுகளுக்கு முன் தமிழ் நாட்டைச் சேர்ந்த ஒர் இந்தியக் கணித ஞானி, பை [PI] குறியின் மதிப்பைத் துல்லியமாய்க் கணக்கிட, நூதன முறையில் பல வழிகளை வகுத்தார். அவர்தான் கணித மேதை ராமானுஜன். பை [PI] என்பது வட்டத்தின் சுற்றளவை அதன் விட்டத்தால் வகுத்து வரும் ஓர் இலக்கம். அதைப் “பை” [Greek Letter PI] என்று கணிதத்தில் குறிப்பிடுவர். எந்த வட்டத்திலும் பை [PI] என்பது ஒரு நிலை இலக்கம் [Constant Number]. 1987 இல் பை [PI] இன் மதிப்பைத் துள்ளியமாக 100 மில்லியன் தசமத்தில் கணக்கிடப் பட்டது. ஆனால் அதன் அடித்தள அணுகுமுறை யாவும் ராமானுஜன் 1915 இல் ஆக்கிய கணிதக் கோட்பாடுகள் மூலம் உருவானவை. அவர் அப்போது அணுகிய அந்த நுணுக்க முறைகள், இப்போது மின்கணணிப் பிணைப்பாடுத் தொடரில் [Computer Algorithms] சிக்கலான கணிதச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகின்றன.

1917 ஆம் ஆண்டு ராமானுஜத்துக்கு அவரது 30 ஆம் வயதில், இங்கிலாந்து F.R.S. [Fellow of Royal Society] விருதை அளித்தது.  அதே சமயம் ராமானுஜன் இங்கிலாந்தில் டிரினிடி கல்லூரி ஃபெல்லோ [Fellow of Trinity College] என்னும் கௌரவத்தையும் பெற்றார்.  பிரிட்டனுடைய இவ்விரு பெரும் பட்டத்தையும் முதன்முதல் பெற்ற இந்தியர் இவர் ஒருவரே.  உலக மகாக் கணித மேதைகளான லியனார்டு யூளார் [Leonhard Euler], கார்ல் ஜெகொபி [Karl Jacobi], வரிசையில் இணையான தகுதி இடத்தைப் பெறுபவர், இந்திய ராமானுஜன்! அவர் கற்ற எளிய கல்வியின் தரத்தைப் பார்த்தால், கணித மேதை ராமானுஜத்தின் திறனைக் கண்டு எவரும் பிரமித்துபோய் விடுவார்!

ராமானுஜன் தமிழ் நாட்டில் 1887 டிசம்பர் 22 நாள் ஒர் ஏழை அந்தணர் வகுப்பில் பிறந்தார். பிறந்த ஊர் ஈரோடு. படித்ததும், வளர்ந்ததும் கும்பகோணத்திலே. தந்தையார் ஒரு துணிக்கடையில் கணக்கு எழுதுபவர். கலைமகள் கணித ஞானத்தை அருளியது, ராமானுஜன் சிறுவனாக இருந்த போதே தென்பட்டது. அபூர்வமான தெய்வீக அருள் பெற்ற “ஞானச் சிறுவன்” [Child Prodigy] ராமானுஜன். அவரது அபாரக் கணிதத் திறனைச் சிறு வயதிலேயே பலர் கண்டு வியப்படைந்தார்கள். ஏழு வயதிலே உதவிநிதி பெற்று, ராமானுஜன் கும்பகோணம் உயர்நிலைப் பள்ளிக்குச் சென்றார்! அப்போதே பள்ளித் தோழரிடம் கணித இணைப்பாடு [Formulae] பலவற்றை, மனப்பாடம் செய்து ஒப்பிவித்து அவரை வியக்க வைத்தாராம்! “பை” இன் மதிப்பை [3.14] பல தசமத்தில் மாணவர்களிடம் பள்ளியில் தெளிவாகச் சொல்லி யிருக்கிறார் அந்த இளமை வயதிலே, ராமானுஜன்.

பன்னிரண்டாம் வயதில் “லோனியின் மட்டத் திரிகோணவியல்” கணித நூலில் [Loney's Plane Trigonometry] கணிதக் கோட்பாடுகளைத் தானே கற்று ராமானுஜன் தேர்ச்சி அடைந்தார். முடிவில்லாச் சீரணியின் தொகுப்பு, அதன் பெருக்கம் [Sum & Products of Infinite Sequences] பற்றிய விளக்கத்தை அறிந்தார். அவரது பிற்காலக் கணிதப் படைப்புகளுக்கு அவை பெரிதும் பயன்பட்டன. முடிவில்லாச் சீரணி என்பது எளிய இணைப்பாடு ஒன்று [Formula], உருவாக்கும் முடிவற்ற தொடர் இலக்கம். அத்தொடரோடு வேறோர் எண்ணைக் கூட்டியோ, பெருக்கியோ, முடிவற்ற சீரணியை முடிவுள்ள சீரணியாக மாற்றி விடலாம்.

பதினைந்தாம் வயதில், கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக் கழக கணித வல்லுநர், கார் [G.S.Carr] தொகுத்த “தூய கணித அடிப்படை விளைவுகளின் சுருக்கம்” [Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics] என்னும் நூலைக் கடன் வாங்கி, சுமார் 6000 கணித மெய்ப்பாடுகளை [Theorems] ஆழ்ந்து கற்றுக் கொண்டார்.  இந்த இரண்டு கணித நூல்களின் பயிற்சிதான் ராமானுஜன் முழுமையாகக் கற்றுக் கொண்டது.  அவைகளே அவரது பிற்கால அபாரக் கணிதப் படைப்புகளுக்கு அடிப்படையாய் அமைந்தன.

1903 ஆம் ஆண்டில் பதினாறு வயதில் கும்பகோணம் அரசினர் கல்லூரியில் ராமானுஜன் சேர்க்கப்பட்டார். ஆனால் அவரது முழு மனதும் கணிதம் ஒன்றிலே ஆழ்ந்து விட்டதால், மற்ற பாடங்களில் கவனம் செல்லாது, அவர் கல்லூரித் தேர்வில் தோல்வியுற்றார். இதே ஒழுங்கில் படித்து, நான்கு வருடங்கள் கழித்துச் சேர்ந்த சென்னைக் கல்லூரியிலும் முடிவில் தோல்வியடைந்தார். 1909 இல் ராமானுஜன் திருமணம் செய்த கொண்டபின், தற்காலியமாய்த் தன் கணிதப் பித்தை ஒதுக்கி வைத்தி விட்டு, வயிற்றுப் பிழைப்புக்காகச் சென்னையில் ஒரு வேலையைத் தேடினார்.

கணிதத்தை ஆதரிக்கும் செல்வந்தர் ஆர்.. ராமச்சந்திர ராவ், அனுதாப முடைய கணித வல்லுநர் பலரது உறுதியான சிபாரிசின் பேரில், 1910 இல் ராமானுஜத்துக்கு கணிதத் துறையில் பணிபுரிய, ஓரளவுத் தொகையை உபகாரச் சம்பளமாக மாதா மாதம் அளிக்க முன்வந்தார். 1911 இல் ராமானுஜத்தின் முதல் பதிவு கணிதப் படைப்புகள், இந்திய கணிதக் குழுவின் வெளியீட்டில் [Journal of the Indian Mathematical Society] வெளிவந்தன.

மேலும் தனியாக வேலை செய்ய விரும்பி 1912 இல், ராமானுஜம் சென்னைத் துறைமுக நிறுனத்தில் எழுத்தராக [Madras Port Trust Clerk] அமைந்தார். நிறுவனத்தின் மேலதிபர் பிரிட்டீஷ் எஞ்சினியர், ஸர் பிரான்ஸிஸ் ஸ்பிரிங். அதை மேற்பார்க்கும் மானேஜர், இந்திய கணிதக் குழுவை [Indian Mathematical Society] நிர்மாணித்த பிரபல வி. ராமசுவாமி ஐயர். இருவரும் ராமானுஜத்தின் கணித ஞானத்தைப் பாராட்டி, அவரது கணிதப் படைப்புக்களை, இங்கிலாந்தில் மூன்று முக்கிய பிரிட்டீஷ் கணித வல்லுநர்களுக்கு அனுப்பித் தொடர்பு கொள்ள ஊக்கம் அளித்தார்கள்.  அவர்களில் இருவர் பதில் போடவில்லை. ஒருவர் மட்டும் பதில் அனுப்பினார்!  அவர்தான், அக்காலத்தில் புகழ்பெற்ற பிரிட்டீஷ் கணித நிபுணர், G.H. ஹார்டி.

ராமானுஜத்தின் கத்தையான கடிதம் ஹார்டியின் கையில் கிடைத்த 1913 ஜனவரி 16 ஆம் தேதி, ஒரு முக்கிய தினம்!  அன்றுதான் அதிர்ஷ்ட தேவதை தன் அருட் கண்களைத் திறந்து ராமானுஜத்துக்கு ஆசிமழை பொழிந்தாள்! முதலில் மேலாகப் பார்த்து விட்டு, ஏதோ ஒரு பைத்தியம் எழுதியதாக எண்ணிக் கடிதக் கட்டை ஒதுக்கி வைத்தார் ஹார்டி. டின்னருக்குப் பிறகு இரவில் பொறுமையாக அவரும், அவரது நெருங்கிய கணித ஞானி, ஜான் லிட்டில்வுட்டும் [John E. Littlewood],  புதிர்களைப் போல் காணும் ராமானுஜத்தின் நூதனமான 120 கணித இணைப்பாடுகளையும், [Formulae] கணித மெய்ப்பாடுகளையும் [Theorems] மெதுவாகப் புரட்டிப் பார்த்துப் பொறுமையாக ஆழ்ந்து படித்தார்கள்.  சில மணி நேரம் கழித்து, பிரமித்துப் போன இருவரும் ஒரு முடிவான தீர்மானத்துக்கு வந்தனர். நிச்சயம் அவர்கள் காண்பது ஒரு மகா மேதையின் உன்னதக் கணிதப் படைப்புகள்.  ஒரு பைத்தியகாரனின் முறை கெட்ட கிறுக்கல் அல்ல அவை என்று வியப்படைந்தார்கள்!

ஹார்டி உடனே ராமானுஜத்தை கேம்பிரிட்ஜ் வரும்படிக் கடிதம் எழுதி அழைப்பு விடுத்தார். சென்னைப் பல்கலைக் கழகமும் [University of Madras], இங்கிலாந்து கேம்பிரிட்ஜ், டிரினிடிக் கல்லூரியும் அவருக்கு உதவிநிதி கொடுக்க முன்வந்தன. 1914 ம் ஆண்டு மார்ச் மாதம், தாயின் பலத்த எதிர்ப்பைத் தள்ளியும், தன் கொள்கையை விட்டுக் கொடுத்தும், ராமானுஜன் இங்கிலாந்துக்குப் புறப்படக் கப்பலேறினார்.

அடுத்த ஐந்து ஆண்டுகள் ஹார்டியும், ராமானுஜமும் டிரினிடிக் கல்லூரியில் [Trinity College] ஒன்றாகக் கணிதத் துறை ஆக்கப் பணியில் ஈடுபட்டார்கள். ஹார்டியின் சீரிய பொறி நுணுக்கமும், ராமானுஜத்தின் நூதன கணித ஞானமும் இணையாகப் பொருந்தி, ஒப்பற்ற உடன்பாடு நிலவி, கணித மெய்ப்பாடுகள் பல உருவாகின. இருவரும் கணிதச் சீர்ப்பாடுகள் [Arithmatic Functions] பலவற்றை ஆங்கில, ஈரோப்பிய விஞ்ஞானப் பதிவுகளில் வெளியிட்டார்கள். அவற்றில் ரெய்மன் சீரினம் [Riemann Series], நீள்வட்ட முழு இலக்கங்கள் [Elliptical Integrals], உயர் ஜியாமெட்ரிச் சீரினம் [Hyper Geometric Series], ஜீட்டா சீர்ப்பாடுகளின் இயக்கச் சமன்பாடுகள் [Fuctional Equations of Zeta Functions],  ராமானுஜன் தனியாக ஆக்கிய விரியும் சீரினங்கள் [Divergent Series] ஆகியவை கணிதத் துறையில் குறிப்பிடத் தக்கவை. அவை பின்வரும் வினாக்களுக்குப் பதில் அளிக்க அடிப்படைத் தளமாய் அமைந்தன. எடுத்துக் கொண்ட ஓர் இலக்கம், எத்தனை “பிரதம வகுப்பினம்” [Prime Divisors] கொள்ளலாம் ? எத்தனை முறைகளில் ஓர் எண்ணை, அதற்கும் சிறிய “நேரியல் முழு இலக்கங்கள்” [Positive Integers] பலவற்றின் தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் ?

தெய்வீக ஞானசக்தி மூலம் தான் கணித்த மெய்ப்பாடுகள் எதிர்காலத்தில் மின்கணணிகளுக்குப் [Computers] பயன்படப் போகின்றன என்று ராமானுஜன் எதிர்பார்த்திருக்க மாட்டார்! சமீபத்தில் அவரது கணிதக் களஞ்சியங்களிலிருந்து தோண்டி எடுத்ததுதான், பை [PI] இன் மதிப்பீடு காணும் அவரது நூதன அணுகு முறை! ராமானுஜத்தின் கணிதத் தீர்வு முறை மற்றவர் ஆக்கிய முறைகளைப் போல் விரியாமல், அதி விரைவில் குவிந்து, பை [PI] இன் மதிப்பைத் துள்ளியமாய்த் தருகிறது!

ராமானுஜத்தின் படைப்புகள் யாவும் அவரது “குறிப்பு நூலில்” [Notebooks] அடங்கி யுள்ளன. பல மெய்ப்பாடுகள் வழக்கமான நிரூபணம் இல்லாமல் எழுதப்பட்டுள்ளன. மற்றும் அவரது குறிப்பு நூலில் “முழுமைப்பாடுகள்” [Integrals], முடிவில்லாச் சீரினங்கள் [Infinite Series], தொடர்ப் பின்னங்கள் [Continued Fractions] போன்றவை விளக்கப் படுகின்றன. கணிதத் துறையினர் இன்னும் அவரது கணித மேன்மையின் முழுத் தகுதியையும் அறிய வில்லை! அமெரிக்காவில் இல்லினாய்ஸ் பல்கலைக் கழகத்தின் [University of Illinois] கணித வல்லுநர், புரூஸ் பெர்ன்ட் [Bruce C. Berndt] ராமானுஜத்தின் கணிதக் குறிப்பு நூலைத் தொகுத்து வெளியிடும் பொறுப்பை மேற்கொண்டுள்ளார். அதற்குப் பிறகுதான், ராமானுஜத்தின் நூதனக் கணிதப் பணிகள் யாவும் கணிதத் துறையினர் கையாளப் பயன்படும்.

பின்னால் ஒரு முறை ராமானுஜத்தின் கணித மேன்மையை இலக்க ரீதியில் ஒப்பிட்டு ஹார்டி கூறியது; ராமானுஜத்தின் திறனுக்குத் தகுதி மதிப்பு 100 அளித்தால், லிட்டில்வுட்டுக்கு 30, தனக்கு 25 மட்டுமே! அப்போதைய ஜெர்மன் மகா கணித மேதை, டேவிட் ஹில்பெர்டின் [David Hilbert] தகுதி மதிப்பு 80! ராமானுஜன் அனுப்பிய கணித மெய்ப்பாடுகள், அவற்றின் விளைவுகள், அவரது கணிதக் கூட்டுழைப்பு, யாவும் தன் வாழ்க்கையில் நிகழ்ந்த ஓரினிய கவர்ச்சிச் சம்பவமாக எண்ணி ஹார்டி களிப்படைகிறார். ராமானுஜத்துக்கு காஸி மெய்ப்பாடு [Cauchy Theorem], இரட்டை நொடிச் சீர்ப்பாடுகள் [Doubly Periodic Functions] போன்ற மற்ற கணிதத் துறை அறிவில் எந்தவித ஞானமும் இல்லை! “இவற்றை எப்படி அவருக்குக் கற்றுக் கொடுப்பது” என்று மலைப்படைந்தார், ஹார்டி! ராமானுஜத்தின் கணிதப் படைப்புகள் யாவும் மெய்யானவை என்றும், அவரது கணித மெய்ப்பாடுகள் தன்னைப் பிரமிக்க வைத்து முற்றிலும் வென்று விட்டதாகவும், ஹார்டி கருதுகிறார். அவை யாவும் பொய்யானவையாக இருந்தால், ஒரு மேதை தன் கற்பனையில் அவற்றை உருவாக்கி யிருக்க முடியாது, என்றும் கூறுகிறார்!

1917 ஆம் ஆண்டில் ராமானுஜன் லண்டன் F.R.S. [Fellow of Royal Society] விருதையும், டிரினிடி கல்லூரியின்  ஃபெல்லோஷிப் [Fellow of Trinity College] விருதையும் ஒன்றாகப் பெற்றுப் புகழடைந்தார். அரும்பெரும் இந்த இரண்டு கௌரவப் பட்டங்களை முதன்முதலில் முப்பது வயதில் பெற்ற இந்தியன் ராமானுஜன் ஒருவரே!  ஆனால் அவரது சீரும், சிறப்பும் உன்னதம் அடைந்து மேல் நோக்கிப் போகையில், அவரது உடல் ஆரோக்கியம் அவரைக் கீழ் நோக்கித் தள்ளியது! வேனிற் காலநிலைப் பூமியில் வாழ்ந்த ராமானுஜனுக்கு, ஈரம் நிரம்பிய குளிர்ச்சித் தளமான இங்கிலாந்து உடற்கேடைத் தந்தது!  முதல் உலக மகா யுத்தத்தின் நடுவில், இங்கிலாந்து உழன்று கொண்டிருக்கும் தருவாயில், அளவான காய்கறி உணவை மட்டும் கட்டுப்பாடோடு உண்டு வந்ததால், அது வேறு அவர் உடல் பலவீனத்தை அதிக மாக்கியது. ராமானுஜத்தைப் பயங்கரக் காசநோய் [Tuberculosis] பற்றி வீரியமோடு தாக்கியது!  அந்தக் காலத்தில் இங்கிலாந்தில் கூட காசநோயிக்குப் போதிய மருந்தில்லை! அடிக்கடி சானடோரியத்துக்கு [Sanatorium] ராமானுஜன் போக வேண்டிய தாயிற்று.  அப்படிப் போய்க் கொண்டிருந்தாலும், அவரது புதியக் கணிதப் படைப்புகள் பேரளவில் பெருகிக் கொண்டுதான் இருந்தன!

1919 ஆம் ஆண்டில் போர் நின்று அமைதி நிலவிய போது, நோய் முற்றி இங்கிலாந்தில் வாழ முடியாது, ராமானுஜன் இந்தியாவுக்குத் திரும்ப வேண்டியதாயிற்று. அந்தக் காலத்தில் காசநோயைக் குணப்படுத்தச் சரியான மருந்து கண்டு பிடிக்கப் படவில்லை! நோயின் உக்கிரம் கூட அவரது கணிதப் பணியை எள்ளவும் குறைக்க வில்லை! தனது 32 ம் வயதில், இந்தியக் “கணிதச் சுடர்விழி” [Maths Icon] ராமானுஜன், 1920 ஏப்ரல் 26 ம் நாள் இந்த மண்ணுலகை விட்டு விண்ணுலகுக்கு ஏகினார்.  உயிர் நழுவிச் செல்லும் கடைசி வேளை வரை அவர் கணிதத் துறைக்குப் புத்துயிர் அளித்ததை, இன்றும் அவரது இறுதிக் குறிப்பு நூல்கள் காட்டுகின்றன.

ஆயுள் முழுவதையும் கணிதப் பணிக்கு அர்ப்பணம் செய்து, வாலிப வயதிலே மறைந்த, ராமானுஜத்தின் அரிய சாதனைகளுக்கு ஈடும், இணையும் இல்லை என்று, அவர் பிறந்த தமிழகம் பெருமைப் பட்டுக் கொள்ளலாம்! கணிதப் பூங்காவில் அவர் ஊன்றிய விதைகள் பல, ஆல மரமாய் எழுந்து விழுதுகள் பெருகிப் பல்லாண்டு காலம், பயன் அடையப் போகிறது, கணித உலகம்! ராமானுஜன் கற்றது கடுகளவு! கணித்தது கால் பந்தளவு! என்று சொன்னால், அப்புகழ்ச்சி சற்றும் அவருக்கு மிகையாகாது!

+++++++++++++++++++++++

ஆதாரங்கள்

1. Scientific American (1988)

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

3. http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Ramanujan.html(Biography of Ramanujan)

4.  https://mail.google.com/mail/?hl=en&shva=1#all/1310266ea3e91cb6 (கட்டுரை திரு.பத்ரி அவர்கள் வலைபதிவிலிருந்து மீள்பதிவு)

5.  http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan   (Wikipedea – Ramanujan) (July 4, 2011)

6.  http://www.thehindu.com/education/research/ramanujans-genius-finally-proven-by-scientist/article4081359.ece  (November 9, 2012)

7.  http://www.foxnews.com/science/2012/12/28/mathematician-century-old-secrets-unlocked/  (December 28, 2012)

8. http://www.futurity.org/science-technology/modern-math-solves-ramanujan%E2%80%99s-%E2%80%98vision%E2%80%99/  (December 17, 2012)

9.  http://www.thehindu.com/news/american-mathematicians-solve-ramanujans-deathbed-puzzle/article4253593.ece  (December 30, 2012)

10.  http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan (May 17, 2012) Revised.

11.  http://en.wikipedia.org/wiki/Mock_theta_function  (December 29, 2012)


சீனிவாச இராமானுஜன் (டிசம்பர் 22, 1887 - ஏப்ரல் 26, 1920)

 

உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணித மேதை. இவர் தமிழ் நாட்டிலுள்ள ஈரோட்டில் பிறந்தார். இவருடைய தந்தையார் கும்பகோணம் சீனிவாசய்யங்கார், தாயார் ஈரோடு கோமளத்தம்மாள். 33 அகவை முடியும் முன்னரே இறந்துவிட்டார். இவர் 1914 முதல் 1918 முடிய உள்ள சில ஆண்டுகளிலேயே 3000க்கும் அதிகமான புதுக் கணிதத் தேற்றங்களைக் கண்டுபிடித்தார்.
இராமானுஜனின் தந்தையாரும் தந்தைவழிப் பாட்டனாரும் துணிக் கடைகளில் எழுத்தராகப் பணியாறிவந்தனர். தாய்வழி பாட்டனாரும் ஈரோட்டு முனிசீப்பு அறமன்றத்தில் அமீனாக வேலை பார்த்தவர். ஆகவே இவர் எளிய குடும்பத்தில், ஏழ்மையான நிலையில் இருந்தார். எனினும் இவர் சிறு வயதிலேயே யாருடைய உதவியும் இல்லாமல் மிக மிக வியப்பூட்டும் விதத்தில் கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான ஆழ் உண்மைகளைக் கண்டுணர்ந்தார். எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிய எண்கோட்பாடுகளிலும் (number theory), செறிவெண் (complex number) கோட்பாடுகளிலும் இவர் கண்டுபிடித்துக் கூறிய ஆழ் உண்மைகள் இன்று அடிப்படை இயற்பியற் துறை முதல் மின்தொடர்புப் பொறியியல் துறை வரை பல துறைகளில் உயர்மட்டங்களில் பயன்படுத்தபபட்டு வருகின்றன. இராமானுசன் அவர்கள் பெயரால் The Ramanujan Journal என்னும் கணித இயல் இதழ் ஒன்று துவக்கப்பட்டுள்ளது.


கணக்கியலர்


கணிதக்குறியீடுகளின் காடுகளில் புகுந்து விளையாடி வெளியே வெற்றியுடன் வரக்கூடிய கணித இயலாளரைக் கணக்கியலர் (algorist) என்பர். முழுக்கணித வரலாற்றிலும் கணக்கியலர்கள் என்று மூன்றே பேரைக் குறிப்பிட்டுச் சொல்லலாம். கணக்கியலருக்கு புதுப்புதுக் கணிதச் சிக்கல்களை கணக்கிட்டு விடுவிப்பதே இயல்பு. அவர் கையாளும் உத்திகள் முன்பின் வழக்கமில்லாததாக இருக்கும். வெறும் மாறிகளிருக்குமிடத்தில் சார்புகளைப் பொறுத்தி சிக்கலை இன்னும் கடினமாக்குவது போல் தோன்றும் அளவுக்கு பெரிதாக்கி, அரிய பெரிய மேதைகளெல்லாம் செய்யமுடியாததை எப்படியோ செய்து முடிப்பர். தூய கணிதம் கட்டாயமாக வேண்டும் ஒருங்கல் (convergence), இருப்பு (existence), முதலிய கட்டுப்பாடுகளைப் பொருட்படுத்தாமல் அவர்களுடைய உள்ளுணர்வின் போக்கிலேயே வானத்தில் பறந்து பிரச்சினையின் இருண்ட பாகங்களுக்கு சரியானபடி வெளிச்சம் தெரியச் செய்துவிடுவர். சில சமயம் தவறுதலான விடைக்கே சென்றிருந்தாலும் அவர் காட்டிய வெளிச்சம் இதர கணித இயலருக்கு புதுப் பாதைகளை வகுத்து கணித முன்னேற்றத்திற்கு முன்னோடியாகி விடும் விந்தையையும் வரலாறு சொல்லும். இப்படியெல்லாம் இருந்தவர் தான் இந்திய மேதைக் கணக்கியலர் சீனிவாச இராமானுஜன்.

கற்பிக்கப்படாத மேதை
மற்ற இரு கணக்கியலர்கள் லியோனார்டு ஆய்லர் (1707-1783) மற்றும் கார்ல் குஸ்டாவ் ஜாகோபி (1804-1851). ஆனால் இவ்விருவருக்கும் கல்லூரிப் படிப்பின் முழு வலுவும் ஆழமான அடித்தளமாக இருந்தது. இராமானுஜனுக்கோ முறையான கல்லூரிப் படிப்பிற்கு வாய்ப்பில்லாமல் போய்விட்டது. எவரும் அவரை திருத்திக் கற்பிக்கும் முன்னமேயே அவர் ஒரு பெரிய கணித வல்லுனர் ஆகிவிட்டார். ஒருவேளை அப்படிக் கற்பிக்கப் படாதிருந்ததால் தான் அவரால் அவ்வளவு சாதிக்க முடிந்ததோ என்னமோ? அப்படி திருத்தப்பட்டிருந்தால் அவர் கணிதத்தில் எடுத்துவைத்த அடிகள் ஒவ்வொன்றும் அவரை தயக்கப்படவும் செய்து பின்னுக்கு இழுத்திருக்கலாம். ஆய்லருடனோ அல்லது ஜாகோபியுடனோ, ஏன், எந்தக் கணித வல்லுனருடனோ அவரை ஒப்பிட்டாலும் அவரை ‘படிக்காதவர்’ என்றே கூறவேண்டும். தன்னால், தானே கற்பித்துக் கொண்ட மேதை அவர். 18, 19 வது நூற்றாண்டுகளில் அடுக்கு அடுக்காக உலகை மேவிய கணிதம் யாவும் அவர் வழியில் தட்டுப்படாமலே அவரால் உலகிலுள்ள அத்தனை கணித இயலர்களுக்கும் புதிதாகச் சொல்வதற்கு எவ்வளவோ இருந்தது. இருபதாவது நூற்றாண்டில் ஒரு விண்மீன் போல் அவர் திடீரென்று தோன்றியதும், உலகில் அப்பொழுது மேன்மையானதென்றுப் பெயர் பெற்றிருந்த பல பல்கலைக் கழகங்களில் முறைப்படி அவருடைய ஆராய்ச்சிக் கருத்துக்கள் அரங்கேறியதும் ஒரு சுவையான பரபரப்புக் கணித வரலாறு. குறிப்பாக அது இந்திய தேசத்திற்குச் சிறந்த பெருமையைத் தந்தது. இவ்வளவிருந்தும், ஒரு சில சம்பவங்களின் திருப்பங்களன்றி அவரை இக்கணித உலகம் அறவே இழந்திருக்கவும் கூடும் என்பதும் உண்மையே.

பள்ளிப் பருவத்திலேயே கணித ஆய்வு

பழமையில் ஊறியிருந்த தென்னிந்திய பிராம்மண குடும்பத்தில் அவர் பிறந்தார். பத்து வயதிற்குள்ளேயே இச்சிறுவனுடைய கணித வல்லமையும் நினைவாற்றலும் ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு புதிராக இருந்தது. ஆரம்பப் பள்ளியின் கடைசித் தேர்வில் மாவட்டத்திலேயே முதலாவதாகத் தேறியதால் அவனுக்கு கும்பகோணம் டவுன் மேல்நிலைப் பள்ளியில் அரைச்சம்பளக் கல்விச் சலுகை கிடைத்தது. 12வது வயதில் லோனி எழுதிய முக்கோணவியல் (Trigonometry) என்ற பாட புத்தகத்தை கல்லூரியில் இளங்கலை வகுப்பில் படித்துக் கொண்டிருந்த தன் அண்டை வீட்டு மாணவனிடமிருந்து கடன் வாங்கி படிக்கத் தொடங்கினான். தன்னைவிட 7, 8 வயது சிறியவனான இப்பள்ளி மாணவன் இக்கல்லூரிப் பாடபுத்தகத்தை ஒரே வாசிப்பில் முடித்ததோடு மட்டுமல்லாமல் அதிலிருந்த எல்லா கணக்குகளையும் தானே போட்டு முடித்து விட்டான் என்றதும் அந்தக் கல்லூரி மாணவனுக்கு ஒரே வியப்பு. முக்கோணவியல் என்ற பெயர் இருந்தாலும் அப்புத்தகத்தில் சில உயர் கணித விஷயங்கள், உதாரணமாக, பகுவியலில் (Analysis) கூறப்படும் தொடர் வினை (Continuous processes) களைப் பற்றிய விஷயங்கள், அடுக்குக்குறிச் சார்பு (exponential function), கலப்பு மாறியின் மடக்கை (logarithm of a complex variable), மிகைபரவளைவுச் சார்புகள் (hyperbolic functions) முடிவிலாத் தொடர்கள் மற்றும் பெருக்கீடுகள் (infinite series and products) இதைப்போன்ற கணிதத்தின் உயர்தரப் பொருள்களெல்லாம் பாடத்திற்கு எடுத்துக் கொள்ளப் பட்டிருந்தன. இவைகளைப் பற்றி அப்புத்தகத்தில் சொல்லப்பட்டிருந்தது துல்லியக் குறைவாகத்தான் இருந்ததென்றாலும் அப்புத்தகம் தான் சிறுவன் இராமானுஜனுக்கும் இவ்வுயர் கணிதப் பொருள்களுக்கும் ஏற்பட்ட முதல் நட்பு. இதைவிட ஒரு தரமான புத்தகம் அவன் கையில் கிடைக்காதது விதியின் விளையாட்டு போலும். விட்டேகருடைய ‘தற்காலப்பகுவியல்’ (Modern Analysis) உலகத்தில் அப்பொழுதுதான் வந்துவிட்டிருந்தது ஆனால் கும்பகோணம் வரையில் வரவில்லை. பிராம்விச்சுடைய முடிவிலாத்தொடர்கள் (Infinite Series), கார்ஸ்லா வுடைய ஃபோரியர் தொடரும் தொகையீடுகளும் (Fourier Series and Integrals), பியர்பாயிண்டுடைய மெய்மாறிச் சார்புகளின் கோட்பாடு (Theory of functions of a real variable), ஜிப்ஸனுடைய நுண்கணிதம் (Calculus) ஆகியவைகள் அப்பொழுதுதான் எழுதப்பட்டுக் கொண்டிருந்த காலம். இவையெல்லாம் இராமானுஜனுக்குக் கிடைத்திருந்தால் கணித உலகின் வரலாறே மாறியிருக்குமா இருக்காதா என்பதில் இன்றும் கணித இயலர்களுக் கிடையில் மாறுபட்ட கருத்துகள் நிலவி வருகின்றன.

இராமானுஜனுடைய ஆய்வுக்குறிப்பேடுகள் ("நோட்புக்குகள்")

சிறுவன் இராமானுஜன் லோனியின் முக்கோணவியலையும் கார் என்பவருடைய தொகையையும் (Carr’s Synopsis) ஆர்வத்துடன் படித்துக் கொண்டிருந்தான். தூய கணிதத்தின் அடிமட்டத் தேற்றத் தொகை என்று பெயர்கொண்ட அந்தப்புத்தகம், சிறுவன் இராமானுஜனுடைய வாழ்க்கையில் வந்ததால் தனக்கென்று வரலாற்றில் ஒரு அழியாத இடத்தைப் பெற்றுக் கொண்டது. அப்புத்தகத்தின் உட்பொருள் அவனை அப்படியே ஈர்த்து, அவனுடைய சக்திகளெல்லாவற்றையும் உசுப்பி விட்டது . அப்படியொன்றும் அது பெரிய நூலோ அல்லது பொருள் பொதிந்ததோ அல்ல. அதில் ஏறக்குறைய 6000 தேற்றங்கள் இருந்தன. பாதிக்கு சரியான நிறுவல்கள் இல்லை; இருந்தவையும் நிறைவற்றதாகவே இருந்தது. இராமானுஜனுக்கு இதெல்லாம் ஒரு தவிர்க்கமுடியாத, எனினும் சுவையான, சவாலாக அமைந்தன. அதிலிருந்த ஒவ்வொரு தேற்றத்திற்கும் சிறுவன் தன் மூளையில் தோன்றிய நிறுவல்களை ஒரு குறிப்பேட்டில் (நோட்புக்கில்) எழுதி வந்தான். இவ்வாய்வில் அவனுக்கே புதிய தேற்றங்களும் தோன்றத் தொடங்கின. எல்லாவற்றையும் எழுதினான். இப்படியே 16 வயதுக்குள் கணித இயலர் என்ற தகுதியை தனக்குள் அடைந்து விட்டான். ஆனால் அவனை உலகம் கணித இயலராகப் பார்க்க இன்னும் பத்து ஆண்டுகள் தேவைப்பட்டன.

மெய்வருந்தக்கூலி எங்கே?

1903 டிசம்பரில் சென்னைப் பல்கலையின் மெட்ரிகுலேஷன் தேர்வில் முதல் வகுப்பில் தேறினான். அதன் காரணமாக கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரியில் F.A. (இந்தக்காலத்து 11, 12 வது) வகுப்பிற்கு ‘சுப்பிரமணியம் உபகாரச்சம்பளம்’ பெற்றான். அவன் கற்க வேண்டியிருந்த பாடங்கள் ஆங்கிலம், கணிதம், உடற்செயலியல், ரோமானிய கிரேக்க வரலாறு, மற்றும் வடமொழி. ஆனால் கணிதம் தான் அவனுடைய காலத்தையும் சக்தியையும் விழுங்கிக்கொண்டது. கணிதம் தவிர மீத மெல்லாவற்றிலும் தேர்வில் தோல்வியே கண்டான். உபகாரச் சம்பளத்தை இழந்தான். கும்பகோணத்தை விட்டு எங்கோ ஆந்திர மண்ணில் தன்னை இழந்து சுற்றித் திரிந்தான். ஓராண்டு காலம் கழித்துத் திரும்பி கும்பகோணம் அரசுக் கல்லூரிக்கே வந்து சேர்ந்தான். ஆனால் 1905 டிசம்பர் தேர்வுக்கு வேண்டியிருந்த உள்ளமைச் சான்று (attendance certificate) கிடைக்காததால் தேர்வு எழுத முடியவில்லை. கும்பகோணம் கல்லூரியும் அத்துடன் அவனை இழந்தது.

1907-11 இல் படைப்பு வெள்ளம்

ஆனால் அவனுடைய ‘நோட்புக்குகள்’ அவனை இழக்கவில்லை. சென்னை பல்கலைக் கழகத்தின் முதல் நூலகத் தலைவராக இருந்த பேராசிரியர் எஸ். ஆர். ரங்கனாதன் எழுதுகிறார் (அவரே ஒரு கணித வல்லுனரும் கூட): “உள்ளிருந்து அவனை ஒரு ஜோதி ஊக்குவித்த வண்ணம் இருந்தது. கணித ஆய்வுகள் அவனுக்கு தெவிட்டாததாகவும் தவிர்க்க முடியாததாகவும் இருந்தது. F.A.தேர்வு கூட தேறமுடிய வில்லையே என்ற ஏக்கம் அவனுடைய கணித ஊக்கத்தை ஒன்றும் செய்ய முடியவில்லை. வேலையில்லாமல் வளய வருவதும் அவனுடைய ஆய்வுகளின் தரத்தையோ அளவுகளையோ குறைக்கவில்லை. சூழ்நிலை, பொருளாதாரம், சமூக கௌரவம் ஒன்றும் அவனுக்கு ஒரு பொருட்டாக இருக்கவில்லை. அவன் மனதிலும் கையிலும் இருந்ததெல்லாம் விந்தைச்சதுரங்கள் (Magic Squares) , தொடர்பின்னங்கள் (Continued Fractions), பகா எண்களும் கலப்பு எண்களும் (Prime and Composite Numbers), எண் பிரிவினைகள் (Number Partitions), நீள்வட்டத் தொகையீடுகள் (Elliptic Integrals), மிகைப்பெருக்கத் தொடர் (hypergeometric series), இவையும், மற்றும் இவையொத்த மற்ற உயர்தர கணிதப்பொருள்கள் தாம். இவைகளைப் பற்றிய அவனுடைய கண்டுபிடிப்புகளை யெல்லாம் தன்னுடைய மூன்று நோட்புக்குகளில் எழுதினான். நிறுவல்கள் அநேகமாக எழுதப்படவில்லை. தற்காலத்தில் இந்த நோட்புக்குகளின் நகல்கள் (212, 352, 33 பக்கங்கள் கொண்டவை) டாடா அடிப்படை ஆய்வுக் கழகம், சென்னைப்பல்கலைக் கழகம், ஸர் தோரப்ஜி டாடா அறக்கட்டளை ஆகிய மூன்று அமைப்புகளின் ஒத்துழைப்பினால் பிரசுரிக்கப் பட்டிருக்கின்றன. 1985இலிருந்து 2005 வரையில், ப்ரூஸ் பர்ண்ட் என்பவருடைய விரிவான குறிப்புகளுடன் ஐந்து புத்தகங்களாக வெளிவந்திருக்கின்றன. அவைகளில் 3542 தேற்றங்கள் இருக்கின்றனவென்றும், ஏறக்குறைய 2000க்கும் மேற்பட்ட தேற்றங்கள் அவர் வாழ்ந்த காலத்திற்கு முன்னால் கணித உலகிற்குத் தெரியாத தேற்றங்கள் தான் என்றும் சொல்கிறார் ப்ரூஸ் பர்ண்ட்.



கலங்கரை வெளிச்சத் தொடர்

சீனிவாச இராமானுஜன் தனது 22வது வயதில் ஒன்பதே வயது நிரம்பியிருந்த ஜானகியைக் கைப்பிடித்தார். 1910இல் இந்தியக்கணிதக் கழகத்தைப்பற்றி கேள்விப்பட்டார். இதற்கு மூன்றாண்டுகளுக்கு முன்னர்தான் இக்கழகம் இணை ஆட்சியராக இருந்த பேராசிரியர் வி. ராமஸ்வாமி அய்யர் என்பவரால் துவக்கப்பட்டிருந்தது. இராமானுஜன் அவரது உதவியை நாடி திருக்கோவிலூருக்கு ஓடினார். இராமானுஜன் என்ற மேதையை உலகுக்கு அறிவிக்கும் கலங்கரை வெளிச்சத் தொடர் சங்கிலியில் முதல் வளையமாக இருந்தவர் இந்த ராமஸ்வாமி அய்யர் தான். அவருடைய அறிமுகத்தில் பேராசிரியர் சேஷு அய்யர் அணுகப்பட்டார். அவர் நெல்லூர் மாவட்ட ஆட்சியராக இருந்த திவான் பகதூர் ஆர். ராமச்சந்திரராவிடம் அனுப்பினார். டிசம்பர் 1910 இல் முதலில் நடந்த சந்திப்பில் வள்ளல் ராமச்சந்திர ராவினுடைய மனதைத் தொட்ட போதிலும் இராமானுஜனின் மேதை அவருடைய அறிவைத் தொடவில்லை. அடுத்த முறை சந்தித்தபோது இராமானுஜன் தன்னுடைய கண்டுபிடிப்புகளில் எளிதில் புரிந்துகொள்ளக் கூடியவைகளை மாத்திரம் காட்டினார். அவைகளிலிருந்து அவர் இராமானுஜன் கணிதத்தில் சாதனை செய்யக்கூடியவர் என்று அறிந்து கொண்டு இராமானுஜனுடைய செலவுகளைச் சிறிது காலத்திற்கு தானே ஏற்று நடத்தி வந்தார்.

இராமானுஜன் இவ்வேற்பாட்டை நெடுநாள் வைத்துக் கொள்வதில் விருப்பமில்லாமல் சென்னை துறைமுக அலுவலகத்தில் ஒரு எழுத்தர் வேலையை ஏற்றுக் கொண்டார். ஆனால் கணிதத்தில் அவருடைய ஈடுபாடும் ஆராய்ச்சியும் தொடர்ந்து நடைபெற்று வந்தது. 1911 இல் இந்தியக்கணிதக் கழகத்தின் ஆய்வுப் பத்திரிகையில் (Journal) இராமானுஜனின் முதல் ஆய்வுக்கட்டுரை பிரசுரிக்கப்பட்டது. இதற்குள்ளாக, சென்னை துறைமுக அலுவலகத்தின் தலைவரான ஸர் பிரான்ஸிஸ் ஸ்பிரிங் என்பவரும் இராமானுஜத்தைப் பற்றி கேள்விப்பட்டு அவரைப் பற்றி விசாரிக்கத் தொடங்கினார். துறைமுக அலுவலகத்தில் ஓர் எழுத்தர் கணிதத்தில் சாதனைகள் புரிந்து வருகிறார் என்ற செய்தி பரவலாக சென்னை கல்விக் கூடங்களில் பேசப்படத் துவங்கியது. சென்னைப் பல்கலைக் கழகத்தில் அவருக்கு ஒரு நிலையான உதவிச் சம்பளம் வாங்கித் தந்துவிட பல பேர் முயன்றனர். இந்த முயற்சியில் சம்பந்தப்பட்டவர்கள் ராமச்சந்திர ராவ், சென்னை பொறியியல் கல்லூரிப் பேரா. சி.எஸ்.டீ. க்ரிஃப்பித், லண்டன் பல்கலைக் கழகத்தைச் சேர்ந்த பேரா. எம். ஜி.எம். ஹில், முனைவர் கில்பர்ட் வாக்கர் (தலைவர், இந்திய வானிலைத்துறை), பேரா.பி. ஹனுமந்த ராவ் (தலைவர், சென்னை பல்கலைக் கழகத்தின் பாட மையம்), மற்றும் நீதிபதி பி. ஆர். சுந்தரம் அய்யர். இந்த முயற்சிக்கெல்லாம் பயன் கிடைத்தது. மே 1, 1913 முதல் இராமானுஜன் (அவரது 26வது வயதில்) சென்னை பல்கலைக் கழகத்தில் மாதம் ரூ.75 சம்பளத்துடன் ஆராய்ச்சியாளராக நியமிக்கப்பட்டார். அன்று தொடங்கி அவருடைய குறுகிய ஆயுள் முடிய அவருக்கு இந்த ஆராய்ச்சி தான் தொழில்.

பேரா. ஜி. ஹெச். ஹார்டி

1913 ஜனவரியில் பேரா. சேஷு அய்யரும் அவருடன் இன்னும் சிலரும் சேர்ந்து இராமானுஜனை கேம்பிரிட்ஜ் இல் பேராசிரியராக இருந்த ஜி. ஹெச். ஹார்டிக்கு கடிதம் எழுதவைத்தனர். இராமானுஜனும் கடிதத்தை எழுதி அதற்கு ஒரு சேர்ப்பாக அவருடைய சொந்தக் கண்டுபிடிப்பாக 120 தேற்றங்களையும் (நிறுவல் எதுவும் இல்லாமல்) அனுப்பித்தார். இக்கடிதம் கிடைத்தவுடன் பேரா. ஹார்டியின் முதல் எண்ணம் அக்கடிதம் குப்பையில் போடப்படவேண்டியது என்பதுதான். ஆனால் அன்று மாலை அவரும் இன்னொரு பேரா. லிட்டில்வுட்டும் சேர்ந்து அதை மறுபடியும் படித்துப் பார்த்த பொழுது, அது அவர்கள் இருவரையும் தீவிர ஆலோசனையில் ஆழ்த்தியது. அதில் பல தேற்றங்கள் அவர்களுக்கு புதிதாகவே இருந்தன. ஓரிரண்டு தவறான தேற்றங்களும் இருந்தன. புதிதாக இருந்தவைக்கு நிறுவல்கள் கொடுக்கப் படாமலிருந்ததால் அவர்களே அவைகளை நிறுவப் பார்த்தார்கள். சிலவற்றை அவர்களால் நிறுவ முடிந்தது. சிலவற்றிற்கு நிறுவலுக்காக என்ன செய்யவேண்டும் என்பதை அவர்களால் ஊகிக்க முடிந்தது. ஆனால் பல தேற்றங்களை அவர்கள் அணுகவும் முடியவில்லை, அவைகளை ஏதோ பிதற்றல் என்று ஒதுக்கவும் முடியவில்லை. உலகத்திலேயே எண் கோட்பாட்டில் பிரமாணமாக எடுத்துக் கொள்ளப் பட்டவர்களான அவர்களாலேயே அத்தேற்றங்களின் உண்மையைப் பற்றி ஒன்றுமே சொல்ல முடியாத நிலையில், இரு வல்லுனர்களும் அன்றே தீர்மானித்து விட்டனர் ‘இந்த இராமானுஜனை கேம்பிரிட்ஜுக்கு கொண்டுவந்துவிட வேண்டும்’ என்று. அத்தீர்மானம் கணிதத்தில் வரலாறு படைத்த தீர்மானம்.

ஆனாலும் இராமானுஜனால் உடனே நாடு விட்டு நாடு வர முடியவில்லை. பழமையான பண்புகளில் ஊறியிருந்த அவரது சுற்றுச் சூழலின் பாதிப்பை மீறி நாட்டை விட்டுப் புறப்பட்டது மார்ச் 1914இல்தான்.

நான்கு பொன்னான ஆண்டுகள்

கேம்பிரிட்ஜில் ஹார்டியுடன் கூட இருந்த நான்கு ஆண்டுகளும் (1914-1918) இராமானுஜனுக்கு மட்டுமல்ல பேராசிரியர் ஹார்டிக்குமே பொன்னான ஆண்டுகள் தாம். இதை ஹார்டியே சொல்கிறார். பிற்காலத்தில், இராமானுஜன் யாருமே எதிர்பார்க்காத 32 வயதிலேயே மரணமடைந்த பிறகு ஹார்டி அவரைப் பற்றி சொல்லும்போது ‘இங்கு வருவதற்கு முன்னால் அவர் என்ன புத்தகம் படித்திருந்தார், இன்னின்ன புத்தகங்களைப் பார்த்திருந்தாரா இல்லையா என்பதை என்னால் சொல்ல முடியவில்லை. நான் கேட்டிருந்தால் ஒருவேளை சொல்லி யிருப்பாரோ என்னமோ. ஆனால் ஒவ்வொருநாள் நான் அவருக்கு காலை வணக்கம் சொல்லும்போதும் அவர் எனக்கு ஐந்தாறு புதுத் தேற்றங்களை காட்ட ஆயத்தமாயிருந்ததால் எனக்கு வேறு எதையுமே பேச வாய்ப்புமில்லை. அதைப் படித்திருக்கிறாயா, இதைப் படித்திருக்கிறாயா என்று கேட்பதும் பொருத்த மில்லாமலிருந்தது’. இராமானுஜனுடைய படைப்பாற்றல் அவ்வளவு வேகமாக இருந்தது. இருந்தாலும் பேரா. ஹார்டி இராமானுஜனுக்கு சில தேவையான் விஷயங்களை சொல்லிக் கொடுக்கத்தான் செய்தார். காரணம், இராமானுஜன் அவையில்லாமல் மாற்று வழிகளுக்காக நேரத்தை செலவழித்து விடுவாரோ என்ற பயம்தான். ஆனால் ஹார்டியே பின்னால் சொல்கிறார் ‘நான் அவருக்குத் தெரியவேண்டியவை என்று சொல்லிக் கொடுத்தது சரிதானா என்று தெரியவில்லை. ஏனென்றால் நான் சொல்லிக்கொடுத்ததால் அவருடைய மேதை பரிமளிப்பதை தடை செய்திருக்கவும் கூடுமல்லவா?’. இன்னமும் சொல்கிறார்: ‘நான் அவருக்கு சொல்லிக்கொடுத்ததுதான் சரி என்று வைத்துக்கொண்டாலும், ஒன்று மாத்திரம் உண்மை. அவர் என்னிடமிருந்து கற்றதை விட நான் அவரிடமிருந்து கற்றது தான் அதிகம்’.

இந்நான்கு ஆண்டுகளில் இராமானுஜன் 27 ஆய்வுக்கட்டுரைகள் பிரசுரித்தார். அவைகளில் 7 கட்டுரைகள் ஹார்டியுடன் கூட்டாக எழுதியவை. 1918 இல் F.R.S. (Fellow of the royal Society) என்ற கௌரவம் அவருக்குக்கொடுக்கப்பட்டது. அதே ஆண்டு ட்ரினிடி கல்லூரியின் ஃபெல்லோவாகவும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். இந்த இரண்டு கௌரவங்களையுமே பெற்ற முதல் இந்தியர் அவர்தான்.

சென்னைப் பல்கலைக்கழகமும் அதன் சார்பில் ராமானுஜனுக்காக ஒரு நிலையான ஏற்பாட்டைச்செய்தது. அவர் அதுவரை பெற்றுக்கொண்டிருந்த வெளிநாட்டு உபகாரச்சம்பளம் முடியும் நாளான ஏப்ரல் 1, 1919 இலிருந்து ஐந்து ஆண்டுகளுக்கு அவருக்கு ஆண்டுக்கு £250 நிபந்தனையற்ற சலுகை தருவதாக ஏற்பாடு செய்தது. புதிதாக கல்வி இயக்குனராகப் பதவியேற்றிருந்த பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸ் அப்பொழுதுதான் மும்பையில் நடந்திருந்த இந்திய கணிதக்கழகத்தின் ஆண்டு மகாநாட்டிலிருந்து திரும்பி வந்திருந்தார். அம்மகாநாட்டில் இராமானுஜனுடைய சாதனைகளைப் போற்றித் தீர்மானங்கள் நிறைவேறியிருந்தன. பேரா. லிட்டில்ஹெய்ல்ஸும் சென்னைப் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதப் பேராசிரியர் பதவி ஒன்று உண்டாக்குவதற்காகவும் அந்தப் பதவிக்கு இராமானுஜனுக்கு அழைப்பு விடுப்பதற்கும் பல்கலைக் கழகத்தை கேட்டுக்கொள்ளப் போவதாகவும் அறிவித்தார். ஆனால் காலச்சக்கரம் வேறு விதமாகச் சுழன்றது.

ஒரே ஒரு இராமானுஜன் கணிதத்துளி

இராமானுஜனுடைய கணிதமேதையை எடுத்துக்காட்டுவதற்காக ஒரு சின்னஞ்சிறு துளியை கீழே காண்போம்.

முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் என்பவர் நேரு காலத்தில் இந்தியாவின் ஐந்தாண்டுத் திட்டங்களைத் தீட்டியவர். அவர் இராமானுஜன் கேம்பிரிட்ஜில் வசித்த காலத்தில் அவரும் அங்கு படித்துக் கொண்டிருந்தார். இராமானுஜனுடைய நண்பர். இருவரும் அடிக்கடி சந்திப்பதுண்டு. ஒருநாள் இராமானுஜன் அவரை தன் விடுதிக்கு மதிய உணவருந்த கூப்பிட்டிருந்தார். இராமானுஜன் சமையல் அடுப்பருகில் வேலையில் ஈடுபட்டிருந்ததால், வந்தவர் இருக்கையில் அமர்ந்து ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையைப் புரட்டிக் கொண்டிருந்தார். அதனில் ஒரு கணிதப் புதிர் இருந்தது. அப்பொழுது முதலாவது உலகப்போர் நடந்துகொண்டிருந்த சமயம். “பாரிஸ் நகரில் ஒரே தெருவில் இரண்டு வீடுகளில் இரண்டு அதிகாரிகள் கைதுசெய்யப்பட்டனர்; வீட்டு கதவிலக்கங்கள் தெரியவில்லை, ஆனால் இரண்டு இலக்கங்களினூடே ஒரு கணிதத் தொடர்பு இருக்கிறது, கதவிலக்கங்கள் என்னவாக இருக்கும்?” இதுதான் புதிர். சிறிது நேரம் யோசித்ததில் மஹலனோபிஸ்சுக்கு விடை புரிந்துவிட்டது. அவர் பரபரப்புடன் அதை இராமானுஜனுடன் பகிர்ந்துகொள்ள விருப்பப் பட்டார். இராமானுஜன் சாம்பாரை கலக்கிவிட்டுக் கொண்டே, ‘சொல்லுங்கள் கேட்போம்’ என்றார். மஹலனோபிஸ் பிர்ச்சினையை எடுத்துரைத்தார். அவர் தன் விடையைச் சொல்லுமுன்பே இராமானுஜன், ‘சரி, இந்த தொடர் பின்னத்தைக் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்’ என்று ஒரு தொடர் பின்னத்தைக் கூறி அதுதான் விடை என்றார்.

இது நமக்குப் புரிவதற்கு ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையில் இருந்த புதிரின் விபரம் தான் என்ன என்று தெரியவேண்டும். ஆனால் அவ்விபரம் கிடைக்கவில்லை. இருந்தாலும் இராமானுஜனின் மின்னல்வேக விடையைப் புரிந்து கொள்வதற்கு நாமாகவே அப்பத்திரிகைப் புதிர் என்ன மாதிரியில் இருந்திருக்கும் என்று ஊகிக்கலாம். இரண்டு கதவிலக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பது தான் பிரச்சினை. கதவிலக்கங்களை x, y என்று அழைப்போம். அவைகளுக்குள் இருந்த தொடர்பையும் நாம் இப்படி வைத்துக் கொள்ளலாம்:

x2 − 10y2 = + 1or − 1

மஹலனோபிஸ் இதைப் பார்த்ததும் ஓரிரண்டு எண்களைப் பொருத்திப் பார்த்தார். x = 3, y = 1 என்ற விடை கிடைத்தது, கிடைத்தவுடன் இராமானுஜனுக்கு சொல்லத் தொடங்கிவிட்டார். ஆனால் இராமானுஜன் பிர்ச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே, சாம்பாரைக் கலக்கிக்கொண்டே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:

3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}

இதன் பொருளை இராமானுஜனே விளக்கினார்.

இத்தொடர்பின்னத்தின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும் ஒவ்வொருவிடையாகும். முதலாவது ஒருங்கு 3/1. x = 3, y = 1 என்பது முதல் விடை. இராமானுஜனுடைய் தொடர்பின்னவிடை அந்தத்தெருவில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் வீடுகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொண்டு, மஹலனொபிஸின் ஒரே விடைக்கு பதிலாக முடிவுறா எண்ணிக்கையில், தொடர்ந்து பல சரியான விடைகள் கொடுக்கின்றன. ஆக, மேற்படி தொடர்பின்னத்தின் 2வது ஒருங்கு

3 + 1/6 = 19/6.

x =19, y = 6 இரண்டாவது விடை.

192 − 10 * 62 = 361 − 360 = 1

மூன்றாவது ஒருங்கு:

3 + \cfrac{1}{6+\cfrac{1}{6}}

இது கொடுக்கும் விடை: x = 117, y = 37

இதுவும் ஒரு சரியான விடைதான்.

நான்காவது ஒருங்கு 721/228. x = 721 y = 228.

இப்படியே போகிறது இராமானுஜனின் தொடர்பின்ன விடை. இராமானுஜனுடைய மேதை அவர் பிரச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே இதற்கு விடை முடிவுறா தொடர்பின்னம் தான் என்று கண்டு கொண்டு அத்தொடர் பின்னத்தையும் உடனே கொடுத்தது தான்.

இன்னொரு நோட்புக்கின் அற்புதம்

துரதிருஷ்டவசமாக இராமானுஜன் இங்கிலாந்தில் ஐந்தாவது ஆண்டை மருத்துவ விடுதிகளில் கழிக்கவேண்டி ஏற்பட்டது. ஏப்ரல் 1919 இல் இந்தியா திரும்பினார். தீராத வியாதியும் கூடவே வந்தது. ஆனால் அவருடைய மனதில் ஓடிக்கொண்டிருந்த கணிதப் பிரச்சினைகளின் ஓட்டம் நிற்கவே இல்லை. இப்படித்தான் உண்டாயிற்று “இராமானுஜத்தின் தொலைந்துபோன நோட்புக்”. அது 1976இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு 1987 இல் பிரசுரிக்கப்பட்டிருக்கிறது. இந்தப் புதையலில் 600 அற்புதமான தேற்றங்கள் இருக்கின்றன. ஆனால் அநேகமாக வெகு உயர்மட்டத்திலிருந்த “Mock Theta functions” என்பவைகளைப் பற்றியது இராமானுஜன் 1919-20 இல் செய்த ஆராய்ச்சிகள்.

ஆக, இராமானுஜன் கணித உலகிற்காக விட்டுப்போனது:

• மூன்று நோட்புக்குகள்

• சென்னைப் பல்கலைக் கழகத்திற்காக கொடுக்கப்பட்ட மூன்று காலாண்டு அறிக்கைப் பத்திரங்கள் (1913-1914)

• 138 பக்கங்கள் கொண்ட தொலைந்து போன நோட்புக்

• கணித இதழ்களில் பிரசுரிக்கப்பட்ட 32 ஆய்வுக்கட்டுரைகள்



(இராமானுஜனின் உள்ளுணர்விலிருந்து உதயமான இக்கணிதச் சொத்து உலகின் நான்கு மூலைகளிலுள்ள கணித வல்லுனர்களையும் ஆயிரக்கணக்கான மாணவர்களையும் ஈர்த்து இருபதாவது நூற்றாண்டின் மிகப்பெரிய சாதனைகளில் ஒன்று என்று பெயர் எடுத்துவிட்டது. பால் எர்டாஸ் என்ற புகழ்பெற்ற கணித மேதை-வல்லுனர் பேரா. ஹார்டி சொன்னதாகச் வரிசைப்படுத்தி சூன்யத்சொல்கிறார்: ‘நாம் எல்லா கணித இயலர்களையும் அவர்களுடைய மேதைக்குத் தகுந்தாற்போல் திலிருந்து 100 வரை மதிப்பெண் கொடுத்தால் எனக்கு 25ம், லிட்டில்வுட்டுக்கு 30ம், ஹில்பர்ட்டுக்கு 80ம் இராமானுஜனுக்கு 100ம் கொடுக்க வேண்டி வரும்’.)